Tak określone prawdopodobieństwo jest jednak niewygodne do badania, gdy jest zbiorem bez zadanych jakichkolwiek relacji między jego elementami. Dlatego definiuje się funkcję zwaną zmienną losową, która przyporządkowuje elementom przestrzeni elementy jakiejś przestrzeni mierzalnej o pożądanych właściwościachŚciślej musi to być funkcja -mierzalna, gdzie jest rodziną podzbiorów borelowskich przestrzeni Jako zwykle wybiera się jedną z tzw. przestrzeni polskich, do których zaliczają się w szczególności przestrzenie euklidesowe.. Najczęściej jako przestrzeń mierzalną wykorzystuje się przestrzeń euklidesową, tj. Wtedy zmienną losową nazywa się wektorem losowym.

Przeciwobraz każdego zbioru mierzalnego w jest zdarzeniem losowym. Podzbiory mierzalne przestrzeni tworzą σ-ciało, które oznaczać będziemy symbolem Ponieważ zmienna losowa nie musi być funkcją różnowartościową, więc ten sam zbiór mierzalny można w ogólnym przypadku otrzymać z wielu różnych zdarzeń o różnych prawdopodobieństwach. Aksjomaty σ-ciała zapewniają, że wśród tych zdarzeń jest także ich suma i do niej jest przypisane największe prawdopodobieństwo.