Tw. 2 Jeżeli minory te mają znaki naprzemiennie ujemne i dodatnie, zaczynając od minora ujemnego minora , to forma jest ujemnie określona.
Np. macierz będzie ujemnie określona, jeżeli
Powyższe twierdzenia stanowią treść kryterium Sylvestera. Należy zauważyć, że za pomocą tego kryterium nie da się jednak rozstrzygnąć o niedodatniej określoności formy ani o tym, czy jest nieokreślona, itd.
Jest jednak bardzo wygodne do sprawdzenia, czy dana macierz jest dodatnio określona, np. stosując do Przykładów 1, 2 – poniżej widać natychmiast, że macierz jest określona dodatnio, a macierz – nie.
Za pomocą tego kryterium można też łatwo znaleźć warunki, ograniczające możliwe rozwiązania (np. L. Landau, J. Lifszyc, Teoria pola, s. 286).
Przykłady Poniższe przykłady pokazują, że znaki elementów macierzy nie mają bezpośredniego związku z określonością macierzy.
Przykład 1. Macierz rzeczywista, symetryczna, dodatnio określona
Dowód: Dla dowolnej macierzy kolumnowej jest
Oznacza to, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa ma wzór
gdzie Widać stąd, że forma jest nieujemna, gdyż dana jest jako suma kwadratów, a ta nie jest nigdy mniejsza od zera. Ponadto forma ta jest niezdegenerowana, gdyż zeruje się tylko, gdy Forma jest więc dodatnio określona, cnd.