Po ukończeniu nauki Griffiths podpisał kontrakt z zespołem teatralnym radia BBC. Pracował również w mniejszych teatrach, zajmując się zarówno aktorstwem, jak i zarządzaniem. Zyskał wczesną renomę jako odtwórca szekspirowskich postaci komediowych; wcielił się w Pompejusza w Miarce za miarkę i Spodka w Śnie nocy letniej występując z Royal Shakespeare Company, a następnie zagrał role królewskie w Straconych zachodach miłości i Henryku VIII. Ostatecznie osiadł w Manchesterze i zaczął otrzymywać główne role w sztukach teatralnych. Stamtąd trafił do telewizji, a przełomem w jego karierze filmowej okazał się występ w roli Sama Broadbenta w ekranizacji powieści Jamesa Herriota To nie powinno się przytrafić weterynarzowi (It Shouldn’t Happen to a Vet, 1976), sequelu filmu Wszystkie stworzenia duże i małe.

Po karierze teatralnej i filmowej w rodzinnej Wielkiej Brytanii, Griffiths zagrał znaczące role w nagradzanych produkcjach, takich jak dramat Hugh Hudsona Rydwany ognia (Chariots of Fire, 1981), dramat biograficzny Richarda Attenborough Gandhi (1982), dramat kryminalny Michaela Apteda Park Gorkiego (Gorky Park, 1983) i komedia Petera Segala Naga broń 33⅓: Ostateczna zniewaga (Naked Gun 33 1/3: The Final Insult, 1994).