Nazywa się ją -wymiarową miarą Hausdorffa z
Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub domknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo że przybliżenia mogą się różnićFederer 1969, § 2.10.2..
Własności Jeśli jest dodatnią liczbą całkowitą, wymiarowa miara Hausdorffa w jest przeskalowaną typową -wymiarową miarą Lebesgue’a która jest znormalizowana w taki sposób, że miara kostki jednostkowej wynosi 1. Istotnie, dla dowolnego zbioru borelowskiego
gdzie to objętość hiperkuli jednostkowej
Powyższy wzór upraszcza się do
gdzie jest objętością hiperkuli o jednostkowej średnicy.
Uwaga: spotyka się też definicje miary Hausdorffa unormowane w taki sposób aby odpowiadały one dokładnie miarom Lebesgue’a stosownie do całkowitego wymiaru przestrzeni euklidesowej.
Związek z wymiarem Hausdorffa Jedna z kilku możliwych równoważnych definicji wymiaru Hausdorffa to
gdzie przyjmuje się
Zobacz też miara
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne [dostęp 2026-01-14]. Hausdorff measure , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2026-01-14].
Kategoria:Geometria fraktalna Kategoria:Geometria metryczna Kategoria:Teoria miary Kategoria:Teoria wymiaru