Minagawa kilkukrotnie startował na mistrzostwach świata, najlepszy wynik osiągając podczas rozgrywanych w 2001 roku mistrzostw świata w St. Anton, gdzie w slalomie zajął dziesiąte miejsce. Był też między innymi czwarty w tej konkurencji na igrzyskach olimpijskich w Turynie. Walkę o brązowy medal przegrał tam z Austriakiem Rainerem Schönfelderem o 0,03 sekundy. Wielokrotnie zdobywał medale mistrzostw Japonii, w tym złote w slalomie w latach 1997, 2003 i 2009 oraz gigancie w latach 1998-1999. W 2014 roku zakończył karierę.
Jego żoną jest narciarka dowolna, Aiko Uemura.
Osiągnięcia Igrzyska olimpijskie 50px Miejsce Dzień Rok Miejscowość Konkurencja Czas biegu Strata Zwycięzca DNF 19 lutego 1998 Nagano Gigant 2:38,51 min - Hermann Maier DNF 21 lutego 1998 Nagano Slalom 1:49,31 min - Hans Petter Buraas DNF 23 lutego 2002 Salt Lake City Slalom 2:23,28 min - Jean-Pierre Vidal 4. 25 lutego 2006 Turyn Slalom 1:43,14 min +1,04 s Benjamin Raich DNF 27 lutego 2010 Whistler Slalom 1:39,32 min - Giuliano Razzoli