W 1992 roku Arge z 11 golami był najskuteczniejszym graczem zespołu, a ze stołecznym zespołem wywalczył swój trzeci w karierze wyspiarski pucharZwycięzcy Pucharu Wysp Owczych na RSSSF.. Niewątpliwym sukcesem indywidualnym Uniego było zdobycie tytułu króla strzelców podczas rozgrywek w 1993, kiedy zdobył 11 bramekLista królów strzelców Wysp Owczych na witrynie RSSSF..
Do roku 1997 Arge rozgrywał mecze w drużynie HB Tórshavn. Swój pierwszy, najdłuższy epizod z tą drużyną zakończył z 137 występami, w których zdobył 96 bramek. Jego drużyna wywalczyła w okresie jego gry cztery Puchary Wysp Owczych (1988, 1989, 1992 i 1995), dwa tytuły mistrzowskie w lidze (1988 i 1990) oraz pięć wicemistrzowskich (1989, 1993, 1994, 1995 i 1997). Uni Arge raz zdobył tytuł króla strzelców, w 1993.
Sukcesy tego zawodnika w lidze farerskiej spowodowały, że zaczęły się nim interesować zagraniczne kluby. Jednym z nich był islandzki Leiftur Olafsfjördur, który grał wtedy w Úrvalsdeild (dziś Landsbankadelid), czyli pierwszej lidze Islandii. Klub ten zajął wtedy piąte miejsce w tabeliRozgrywki między klubami islandzkimi w 1998 na stronie RSSSF. i dostał awans do rozgrywek Pucharu Intertoto UEFA, ale Arge w nich nie uczestniczył, gdyż odszedł z klubu na końcu sezonu. Rozegrał tam 28 spotkań, strzelając 13 bramek.