Każdy okresowy ułamek łańcuchowy przedstawia pewną niewymierność kwadratową, tzn. niewymierny pierwiastek równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych. Każda niewymierność kwadratowa rozwija się w okresowy arytmetyczny ułamek łańcuchowy.
Znajdowanie ułamków łańcuchowych Algorytm znajdowania reprezentacji liczby w postaci ułamka łańcuchowego można opisać następująco:
JEŚLI – STOP
PRZEJDŹ DO 2 Dla otrzymujemy na przykład:
Zatem:
Redukty, najlepsze wymierne przybliżenia Niech będzie ułamkiem łańcuchowym (skończonym lub nieskończonym), wówczas liczbę nazywamy -tym reduktem tego ułamka łańcuchowego.
Dla zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami:
zachodzi Ponadto jest to postać nieskracalna tego ułamka.
Kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi tej liczby o możliwie małych mianownikach. Dokładniej, jeżeli ułamek jest -tym reduktem rozwinięcia liczby w ułamek łańcuchowy, to dla każdej liczby wymiernej spełniającej warunek zachodzi nierówność .
Ponadto redukty parzyste przybliżają liczbę od dołu (z niedomiarem), a nieparzyste od góry (z nadmiarem).
Zobacz też stała Chinczyna Równanie Pella