Jedną z motywacji powstania tej teorii było pokazanie niemożliwości istnienia wygrywających strategii w grach hazardowych.
Definicje formalne W przypadku dyskretnym, martyngał to dyskretny proces stochastyczny spełniający dla wszystkich warunki:
Ogólniej, ciąg jest martyngałem w stosunku do ciągu jeśli dla wszystkich spełnia warunki:
Podobnie w przypadku ciągłym, ciągłym martyngałem w stosunku do procesu jest proces stochastyczny taki że dla dowolnego
dla dowolnego
Oznacza to że wartość oczekiwana wyniku w momencie jeśli znamy wartości do momentu jest równa zmierzonej wartości w momencie (o ile ).
W pełnej ogólności, martyngałem względem filtracji jest para taka, że jest przestrzenią probabilistyczną; jest procesem stochastycznym adaptowanym do filtracji (czyli jest -mierzalne dla wszystkich ); dla wszystkich dla wszystkich gdzie oznacza funkcję charakterystyczną zbioru
Przykłady martyngałów Niech będzie majątkiem gracza po rzuceniu razy symetryczną monetą, jeśli gracz wygrywa 1 $ za każdego wyrzuconego orła i traci 1 $ za każdą wyrzuconą reszkę. Wartość oczekiwana majątku gracza w dowolnym momencie jest równa ostatniej znanej nam wartości tego majątku, a więc jest martyngałem.