Zauważmy, że implikuje Pokażemy, że oraz jest rosnący. Wówczas na mocy udowodnionego Przypadku I otrzymamy, że To wobec założenia oznaczać będzie, że dla dostatecznie dużych a w konsekwencji

Z faktu wynika istnienie liczby takiej, że

dla każdego Wówczas dla

Gdzie ostatnia nierówność wynika z założenia o monotoniczności . Mamy , czyli jest rosnący.

Dodając powyższe nierówności dla otrzymujemy

Po uproszczeniu obu stron uzyskujemy

Stąd dla dowolnego prawdziwa jest nierówność:

Ponieważ to co kończy dowód.

Przykłady Twierdzenie Cauchy’ego o zbieżności ciągu średnich arytmetycznych Jeśli ciąg jest zbieżny (do granicy skończonej lub nieskończonej), to ciąg średnich arytmetycznych pierwszych wyrazów jest zbieżny do tej samej granicy, symbolicznie:

Powyższa równość granic ma związek z sumowalnością metodą Cesàro;