Dowód aksjomatu wyboru Aksjomat wyboru mówi, że dla danych zbiorów dla iloczyn jest niepusty. Dla tak zadanych zbiorów można wybrać pewien nienależący do (np. może to być zbiór potęgowy tej sumy). Następnie niech dla będą wyposażone w topologię ponadto niech ma topologię produktową. Każdy zbiór jest zwarty, a więc z twierdzenia Tichonowa również jest zwarty.
Niech teraz dla Ponieważ jest przeciwobrazem rzutu na -tą współrzędną, to jest on otwarty dla każdego Dla dowolnych różnych zbiór nie pokrywa istotnie, wybrawszy dla element ze zbioru a następnie przyjęciu o ile oraz w przeciwnym przypadku otrzymuje się, iż nie należy do (można wykonać skończenie wiele wyborów bez aksjomatu wyboru). W ten sposób nie ma skończonego podpokrycia, a więc ze zwartości nie mogą one pokrywać Istnieje zatem taki, że dla każdego tj. co oznacza, że nie jest pusty, jak wymagano.
Bibliografia
Tichonowa