Przełom w karierze Szwajcara nastąpił w sezonie 1997/1998. W zawodach pucharowych punktował wielokrotnie, w tym 23 stycznia 1998 roku w Kitzbühel po raz pierwszy stanął na podium, zwyciężając w zjeździe. W zawodach tych wyprzedził dwóch Francuzów: Nicolasa Burtina i Jean-Luca Crétiera. Poza tym dzień później był drugi w zjeździe, 8 marca 1998 roku w Kvitfjell zajął trzecie miejsce w supergigancie, a 13 marca 1998 roku w Crans-Montana ponownie był drugi w biegu zjazdowym. W klasyfikacji generalnej dało mu to ósme miejsce, w klasyfikacji zjazdu był czwarty, a w supergigancie zajął szóste miejsce. W marcu 1998 roku wystartował także na igrzyskach olimpijskich w Nagano, gdzie wywalczył pierwszy w karierze medal na arenie międzynarodowej. Cuche zajął tam drugie miejsce w supergigancie, przegrywając tylko z Austriakiem Hermannem Maierem. Był to pierwszy w historii medal olimpijski dla Szwajcarii w tej konkurencji. Na tej samej imprezie zajął także ósme miejsce w zjeździe.