Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga o zbieżności Kryterium Cauchy’ego nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg jest zbieżny, gdy
Aby to zilustrować, rozważmy ciągi (an), (bn), gdzie
Wówczas
(korzystamy z faktu, że ). Jednak jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a jest zbieżny (zob. problem bazylejski).
Porównanie z kryterium d’Alemberta
Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Alemberta, tzn. jeśli szereg o wyrazach dodatnich spełnia jeden z warunków kryterium d’Alemberta, to spełnia też warunek kryterium Cauchy’ego; przeciwna implikacja nie zachodzi. Istotnie, załóżmy, że szereg spełnia pierwszy z warunków z kryterium d’Alemberta, tzn.
Wówczas istnieją liczba oraz taka, że
dla dowolnego Wówczas dla każdego Zatem
Twierdzenia tego nie da się odwrócić, co ilustruje następujący przykład.
Niech dany będzie szereg
Wówczas ogólny wyraz tego szeregu jest postaci
Zauważmy, że
oraz
Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg jest zbieżny. Z drugiej strony
co pokazuje, że szereg nie spełnia warunku z kryterium d’Alemberta.
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne [dostęp 2022-06-20]. Cauchy test , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Cauchy’ego