Kryterium d’Alemberta (także kryterium ilorazowe d’Alemberta) – jedno z podstawowych kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich udowodnione przez d’Alemberta.
Kryterium Niech dany będzie szereg liczbowy
o wyrazach dodatnich oraz niech
Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
to szereg jest zbieżny.
Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
to szereg jest rozbieżny.
Wersja graniczna kryterium Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica
to gdy szereg jest zbieżny, oraz gdy szereg jest rozbieżny.
Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku, gdy
Istotnie, rozważmy ciągi
Wówczas
Jednak szereg jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a drugi z szeregów jest zbieżny (zob. problem bazylejski).
Dowód Załóżmy, że dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
Stąd
dla każdego Oznacza to, że dla każdego spełniona jest nierówność
Szereg
jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie Ponadto, majoryzuje on szereg
Na mocy kryterium porównawczego szereg jest zatem zbieżny.
W przypadku gdy istnieje taka liczba że nierówność