W grudniu 1923 otrzymał z rąk bpa Stanisława Galla święcenia kapłańskie. Jeszcze przed święceniami zawarł w Nuncjaturze Apostolskiej w Warszawie znajomość z ks. G.B. Montinim (w latach 1963-1978 papież Paweł VI), któremu niejednokrotnie służył jako tłumacz. W 1926 Dąbrowski doktoryzował się na Wydziale Teologii Katolickiej Uniwersytetu Warszawskiego. Następnie, w latach 1926–1929 Dąbrowski odbył specjalistyczne studia w Papieskim Instytucie Biblijnym w Rzymie. Przez rok przebywał w Anglii (Oksford, Cambridge), a po trzyletnich studiach w Rzymie odbył półroczną podróż po Bliskim Wschodzie (Turcja, Syria, Palestyna, Egipt).
Po powrocie do Polski w 1929 został profesorem Pisma Świętego w Metropolitalnym Seminarium Duchownym w Warszawie. W tym charakterze pracował przez piętnaście lat. Habilitował się na UW w 1932, a w 1934 otrzymał stypendium Funduszu Kultury Narodowej na odbycie specjalnych studiów w École des Hautes Études w Paryżu. Był docentem Wydziału Teologii Katolickiej Uniwersytetu Warszawskiego.