Twierdzenie Arzeli-Ascolego – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej, podające – w najprostszym przypadku – warunek wystarczający możliwości znalezienia podciągu w ciągu funkcji ciągłych, określonych na przestrzeni zwartej, zbieżnego jednostajnie. Pierwsza wersja twierdzenia została udowodniona w roku 1883 przez włoskiego matematyka Giulio Ascolego, na długo przed wykształceniem się aparatu współczesnej topologii. Mimo to jednak, sens tego twierdzenia jest czysto topologiczny — samo to twierdzenie mówi mianowicie de facto o: (względnie) zwartych podzbiorach przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą/topologią zbieżności jednostajnej.
Twierdzenie Arzeli-Ascolego ma liczne zastosowania w matematyce. Za jego pomocą można na przykład udowodnić istnienie rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego
gdy o funkcji nie zakłada się nic więcej poza jej ciągłością (zob. twierdzenie Peana).
Pojęcia wstępne Niech będą przestrzeniami topologicznymi. Symbol oznacza przestrzeń funkcji ciągłych określonych na i o wartościach w Gdy jest przestrzenią zwartą, a jest przestrzenią Banacha to jest przestrzenią Banacha z normą supremum.