Twierdzenie Szarkowskiego – twierdzenie podane w 1964 r. przez ukraińskiego matematyka Aleksandra Mikołajewicza Szarkowskiego dotyczące występowania punktów okresowych dla ciągłych funkcji prostej rzeczywistej. Twierdzenie to jest również uogólnieniem twierdzenia Li-Yorke’a z 1975 r.
Porządek Szarkowskiego Porządek Szarkowskiego to porządek w zbiorze liczb naturalnych oznaczany w którym elementem najmniejszym jest liczba 1 a największym 3:
Twierdzenie Szarkowskiego Niech będzie funkcją ciągłą, a to domknięty odcinek lub cała prosta Jeśli ma punkt okresowy o okresie oraz w porządku Szarkowskiego, to ma punkt okresowy o okresie
Idea dowodu Zawiły dowód podany przez Szarkowskiego w 1964 roku był wielokrotnie upraszczany. Nowoczesny dowód używa niżej zdefiniowanego pojęcia A-grafu.
A-graf Powiemy, że przedział nakrywa przedział przy funkcji gdy Niech będzie punktem okresowym o okresie i orbicie uporządkowanej następująco: Oznaczmy przedziały dla Graf o wierzchołkach nazywamy A-grafem. Krawędź występuje w A-Grafie, gdy przedział nakrywa
Tworzenie orbit za pomocą A-grafu Niech będzie cyklem w A-grafie. Jeśli nie jest to cykl, który jest prostym złożeniem innych cykli, to istnieje podprzedział taki, że dla oraz