Holm ukończył Royal Academy of Dramatic Art w 1953.
W 1954 zadebiutował na scenie Shakespeare Memorial Theatre w Stratford-upon-Avon w roli nosiciela włóczni w inscenizacji Otello Williama Shakespeare’a. W latach 1957–1967 był gwiazdą Royal Shakespeare Company, gdzie zagrał elfa Puka w komedii Śnie nocy letniej (1962), błazna w Królu Learze (1959), Claudio w Miarce za miarkę (1962), Gremio w Poskromieniu złośnicy (1962), Troilosa w Troilusie i Kresydzie (1962), Ariela w Burzy (1963), króla Ryszarda III w Ryszardzie III (1963), Henryka w Henryku IV, część 1 i Henryka IV, część 2 (1964), Henryka V w Henryku V (1964), Malvolio w Wieczorze Trzech Króli (1966) i Romea w Romeo i Julii (1967). W 1967 wystąpił na Broadwayu w roli Lenny’ego w sztuce Harolda Pintera Powrót do domu, za którą otrzymał Tony Award.