1 października 1944 podjął studia we wznawiającym działalność Wileńskim Rzymskokatolickim Seminarium Duchownym; zostało ono zamknięte po kilku miesiącach i w maju 1945 Borkowski przeniósł się do Krakowa, gdzie odbył roczny nowicjat w zakonie dominikanów. We wrześniu 1946 powrócił na studia w seminarium archidiecezji wileńskiej, przeniesionego w międzyczasie do Białegostoku. W 1948 wystąpił do administratora diecezji warmińskiej ks. Teodora Benscha o przeniesienie na Warmię, w związku z osiedleniem się rodziców w Ełku (Bronisław Borkowski został tam organistą). Zgodę uzyskał, ale nauki nie kontynuował w olsztyńskim seminarium „Hosianum”, gdyż z kolei został skierowany do Lubelskiego Seminarium Duchownego (blisko współpracującego z Wydziałem Teologicznym Katolickiego Uniwersytetu Lubelskiego). Pracę magisterską z historii Kościoła przygotowywał pod kierunkiem ks. Mieczysława Żywczyńskiego (tematem był napis nagrobny biskupa Hieropolis Abercjusza z II wieku). Święcenia kapłańskie przyjął 25 czerwca 1950 w katedrze w Lublinie z rąk biskupa Piotra Kałwy. Wśród wyświęconych razem z nim kapłanów był młodszy o pięć lat Julian Wojtkowski, późniejszy biskup pomocniczy warmiński.