fragment sfery można przekształcić we fragment płaszczyzny za pomocą odpowiedniej deformacji.
Rozmaitość topologiczna to lokalnie euklidesowa przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności.
Definicję tę można rozszerzyć o przypadek Wtedy jeżeli przyjąć to jedyną rozmaitością lokalnie homeomorficzną z tą przestrzenią euklidesową będzie zbiór pusty.
Rozmaitość z brzegiem Rozmaitość topologiczna z brzegiem to przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, która dla ustalonego w każdym swoim punkcie posiada otoczenie homeomorficzne (tzn. lokalnie homeomorficzna) z lub półprzestrzenią euklidesową to znaczy zbiorem:
Niech będzie -wymiarową rozmaitością z brzegiem. Wnętrzem nazywa się zbiór punktów mających otoczenia homeomorficzne z podzbiorem otwartym i oznacza Brzeg oznaczany to dopełnienie wnętrza w Punkty brzegowe mogą być scharakteryzowane jako te, które leżą na hyperpłaszczyźnie brzegowej półpłaszczyzny w pewnym układzie współrzędnych.
Jeżeli jest rozmaitością z brzegiem wymiaru to jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru a jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru lub zbiorem pustym.
Dalej rozmaitości o pustym brzegu będą nazywane po prostu rozmaitościami, choć mogą być dla zaznaczenia nazywane rozmaitościami bez brzegu.