Formalniej, dla ustalonej liczby ciało liczb -adycznych jest uzupełnieniem liczb wymiernych. Zadana jest na nim topologia pochodząca od metryki, która to zdefiniowana jest w terminach -adycznego rzędu, alternatywnej waluacji na liczbach wymiernych. Ta przestrzeń metryczna jest zupełna, to znaczy każdy ciąg Cauchy’ego zbiega do pewnego punktu w Umożliwia to rozwój analizy nad nowym ciałem. Właśnie interakcja analitycznej oraz algebraicznej struktury sprawia, że liczby -adyczne są takie użyteczne.
Rozwinięcia p-adyczne Jeżeli ustalimy liczbę pierwszą to każda dodatnia liczba całkowita może zostać zapisana w systemie pozycyjnym o podstawie jako gdzie całkowite liczby spełniają nierówności Dla przykładu, możemy rozwinąć jako Podobne rozwinięcia istnieją także dla liczb wymiernych (oraz rzeczywistych), musimy jednak dopuścić sumy o nieskończenie wielu składnikach oraz sumy ujemne, czyli