Geometria Oprócz faktu, iż jest pełnoprawnym punktem tej przestrzeni, kluczową ideą rzeczywistej prostej rzutowej jest to, że jest ona przestrzenią jednorodną homeomorficzną z okręgiem. Przykładowo ogólna grupa liniowa odwracalnych macierzy typu 2×2 działa na niej przechodnio. Działanie grupy można opisać również za pomocą przekształceń Möbiusa, w których argumenty zerujące się w mianowniku przyjmują w obrazie
Dokładniejsze przyjrzenie się temu działaniu pokazuje, że dla dowolnych trzech punktów istnieje przekształcenie homograficzne odwzorowujące te punkty odpowiednio na Obserwacji tej nie można rozszerzyć na czwórki punktów z powodu niezmienniczości dwustosunku.
Porządek i topologia Zbiór jest homeomorficzny z okręgiem (por. rysunek), dlatego niemożliwe jest rozszerzenie relacji porządku na cały zbiór tzn. dla dowolnego nie można powiedzieć ani, że ani też że Jednak relacja porządku w zbiorze jest stosowana w niektórych definicjach obiektów w zbiorze
Pojęcie przedziału można rozszerzyć na zbiór jednak ponieważ relacja porządku nie obejmuje punktu to przedziały muszą być zdefiniowane w nieco inny sposób niż w zbiorze liczb rzeczywistych Dla dowolnych przy czym przyjmuje się następujące definicje przedziałów domkniętych: