Operator sprzężony (sprzężenie hermitowskie operatora) – operator definiowany w teorii przestrzeni Hilberta następująco:
Jeżeli są przestrzeniami Hilberta oraz jest operatorem liniowym i ograniczonym, takim że
to operatorem sprzężonym nazywa się operator liniowy
taki, że
gdzie zaś oznacza iloczyn skalarny określony odpowiednio w przestrzeniach oraz
Powyższa definicja wypowiedziana słownie mówi:
Operator sprzężony do danego operatora jest to operator taki, że następujące liczby są identyczne
(1) czyli iloczyn skalarny wektora przez wektor powstały w wyniku działania operatora na wektor oraz
(2) czyli iloczyn skalarny wektora przez wektor powstały w wyniku działania operatora na wektor
Należy zauważyć, że iloczyn skalarny jest zdefiniowany w przestrzeni zaś iloczyn skalarny jest zdefiniowany w przestrzeni
Z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału wynika, że powyższy warunek wyznacza operator jednoznacznie.
Własności Niech będą przestrzeniami Hilberta oraz niech
będą operatorami liniowymi i ciągłymi.
Operator liniowy jest ograniczony (ciągły) oraz