Twierdzenie Helligenra-Toeplitza mówi, że każdy operator samosprzężony, określony na całej przestrzeni Hilberta jest ograniczony. W ogólności zachodzi jednak potrzeba zdefiniowania operatorów samosprzężonych nieograniczonych (np. operatory położenia i pędu w mechanice kwantowej). Z konieczności nie są one określone na całej przestrzeni Hilberta, a jedynie na podprzestrzeni
Operatory samosprzężone w mechanice kwantowej W mechanice klasycznej definiuje się różne wielkości fizyczne, które można zmierzyć, np. energię, pęd czy moment pędu. Wielkości te są odpowiednio skalarem, wektorem i pseudowektorem i mogą przyjmować dowolne wartości. Jednak wyniki eksperymentów pokazują, że niekiedy jest inaczej – niekiedy bowiem wielkości mierzalne przyjmują wartości dyskretne.
Dokładniejszego opisu rzeczywistości fizycznej dostarcza mechanika kwantowa, gdzie do opisu wielkości mierzalnych wprowadza się operatory hermitowskie (jednak należy definicje podane w tym artykule uogólnić na operatory liniowe, które nie są ograniczone). Operatory te są nazywane obserwablami, gdyż ich wartości własne przedstawiają jedyne wartości liczbowe, jakie można otrzymać w wyniku pomiaru (czyli „obserwacji”) danej wielkości fizycznej.