W roku 1771 wysłano go z misją dyplomatyczną do Kopenhagi. Tam w roku 1772 udało mu się wymusić wypuszczenie z więzienia królowej duńskiej Karoliny Matyldy, siostry Jerzego III władcy Wielkiej Brytanii, zamkniętej w areszcie w zamku Kronenburg, po obaleniu przez Duńczyków jej rzekomego kochanka – cudzoziemskiego doradcy Johanna Friedricha Struensee. Sukces dyplomatyczny osiągnął dzięki temu, że zagroził Duńczykom wojną z Wielką Brytanią, jeśli królowej spadnie włos z głowy. Wkrótce pozwolono jej powrócić do Celle w Elektoracie Hanoweru. Za ten wyczyn Jerzy III przyznał Murrayowi Order Łaźni (Knight of Bath).
W roku 1773 sir Robert został ambasadorem w Austrii, a w 1775 przyznano mu miejsce w parlamencie z hrabstwa Peebles. Był też członkiem rady królewskiej (Privy Council)i pułkownikiem 10 pułku piechoty.