Iloczyny (produkty) grup – sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.
Iloczyn kartezjański Niech będzie rodziną grup, gdzie jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy iloczyn kartezjański
z działaniem
Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż elementem neutralnym jest gdzie jest elementem neutralnym grupy dla każdego elementem odwrotnym do elementu jest
Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem
W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny.
Iloczyn prosty Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup określoną równością
Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup.