Wtedy, ze zbioru induktywnego możemy wyciąć podzbiory i , które odpowiadają kolejno i .
Dalsze konstrukcje Singleton Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu czyli zbiór jednoelementowy:
Zbiór należy oczywiście odróżniać od zbioru .
Nieuporządkowana n-ka Mając dane zbiory możemy zatem skonstruować zbiory i dalej wobec aksjomatu pary Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów.
Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary.
Para uporządkowana
Dzięki aksjomatowi pary, możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów i
którą charakteryzuje istniejący na niej porządek elementów, tj. dwie pary uporządkowane i są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy i .
Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji. Jest to standardowa definicja pary uporządkowanej zaproponowana przez Kuratowskiego, chodź istnieją też inne definicje (patrz: Definicje pary uporządkowanej).
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2024-03-07].
Pary