Algebra Banacha – przestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia, wraz z którym tworzy ona algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych (algebrę rzeczywistą) bądź zespolonych (algebrę zespoloną) i w której norma jest podmultiplikatywna, tj.
Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne – w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne, to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.
Istnieją zasadnicze różnice w teorii zespolonych i rzeczywistych algebr Banacha wynikające z gorszych własności spektralnych tych drugich, skąd klasyczna teoria algebr Banacha dotyczy głównie zespolonych algebr Banacha. W analizie -adycznej rozważa się również zdefiniowane podobnie jak wyżej algebry Banacha nad ciałem liczb -adycznych (bądź innym ciałem z waluacją), jednak zwykle teorii tej nie zalicza się do teorii algebr Banacha. W niniejszym artykule rozważane będą głównie zespolone algebry Banacha.
Nazwa algebra Banacha została wprowadzona w 1945 przez Warrena Ambrose’aW. Ambrose, Structure theorems for a special class of Banach algebras, „Trans. Amer. Math. Soc.” 57 (1945), s. 364–386..