N=25. Tu brak efektu Gibbsa, gdyż funkcja nie ma punktów nieciągłości.|249x249px
Podane tu dwa zasadnicze twierdzenia dotyczą warunków rozwinięcia za pomocą szeregu Fouriera funkcji okresowej. Zakładamy, że funkcja ma okres i pulsację Twierdzenia poprzedzone są lematami, potrzebnymi do ich dowodów. Lemat I (całki pomocnicze) jest liczbą całkowitą
są liczbami naturalnymi
Lemat II
Dowód
więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):
q. e. d.
Lemat III Jeżeli jest funkcją ciągłą w przedziale z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to
Twierdzenie (Eulera–Fouriera)