17 sierpnia 2008 zwyciężył w konkursie rzutu młotem podczas igrzysk olimpijskich, a dokładnie rok później (17 sierpnia) zdobył złoto na mistrzostwach świata w Berlinie.
W październiku 2009 niespodziewanie ogłosił zakończenie kariery sportowej. Rok później ogłosił powrót do lekkoatletyki, jako cel wyznaczył sobie obronę złotego medalu igrzysk olimpijskich. Po powrocie na rzutnię zdobył w 2011 brąz mistrzostw świata. W 2012 został w Londynie wicemistrzem olimpijskim. Czwarty zawodnik mistrzostw świata w Moskwie (2013). W październiku 2015 ponownie ogłosił zakończenie kariery.
Jego siostra – Simona Kozmus – także uprawiała rzut młotem i była rekordzistką Słowenii w tej konkurencji.
Rekord życiowy: 82,58 (2 września 2009, Celje) – rezultat ten jest aktualnym rekordem Słowenii. Kozmus w 1998 roku wynikiem 69,54 ustanowił rekord Słowenii juniorów w rzucie młotem (sprzętem o wadze 6 kilogramów).