Jeżeli są skończonego wymiaru odpowiednio to rząd również jest skończony i jest nie większy niż (gdyż wymiar dowolnej podprzestrzeni skończonego wymiaru jest skończony). Wybierając w i bazy, odpowiednio oraz wprowadza się izomorfizmy i W ten sposób przekształcenie można zapisać we współrzędnych (w bazach ) w postaci przekształcenia korzystając z przestrzeni współrzędnych macierzowych zapisuje się je zwykle w postaci macierzy typu nazywanej macierzą przekształcenia liniowego w bazach Jeśli dana własność będzie odnosić się tak do przekształcenia jak i jego macierzy to obiekty te zbiorczo będą oznaczane
Przekształcenia liniowe i ich macierze
Ponieważ kolumny macierzy są obrazami wektorów bazy w przekształceniu to rozpinają one w podprzestrzeń izomorficzną z obrazem dlatego rząd macierzy można definiować jako rząd tego przekształcenia liniowego, zwykle jednak czyni się na odwrót: definiuje się rząd macierzy i dowodzi, iż rzędy macierzy podobnych są równe, tzn. że rząd przekształcenia opisanego we współrzędnych nie zależy od ich wyboru (zob. Własności).