Prostopadłość w trójwymiarze mały|Układ współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni trójwymiarowej – osie współrzędnych są parami prostopadłe. Przedstawiony sześcian można uznać za sześcian jednostkowy
Podstawowe twierdzenia Dla dowolnej płaszczyzny i dowolnego punktu istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do płaszczyzny . Twierdzenie 64.4.T..
Dla dowolnej prostej i dowolnego punktu istnieje dokładnie jedna płaszczyzna przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej . Twierdzenie 64.3.T..
Dla dowolnych dwóch prostych skośnych istnieje dokładnie jedna prosta prostopadła do nich obu jednocześnie. Twierdzenie 2.14.T..
Opis kartezjański Dane są 2 wektory:
Dla uproszczenia zakładamy, że początki obu tych wektorów znajdują się w tym samym punkcie, jakim jest początek układu współrzędnych Wówczas długości tych wektorów wynoszą odpowiednio:
Natomiast odległość ich końców od siebie jest równa:
Powyższe 3 wartości są długościami odpowiednich odcinków, które razem tworzą trójkąt Aby nasze wektory były względem siebie prostopadłe, trójkąt ten musi być prostokątny, a więc spełniać twierdzenie Pitagorasa:
Podstawiamy odpowiednie wyrażenia:
Pierwiastki uproszczają się z kwadratami, a więc zostają jedynie same wyrażenia podpierwiastkowe: