Twierdzenie Berry’ego-Esseena – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa, które daje pewne oszacowanie szybkości zbieżności w centralnym twierdzeniu granicznym.
Motywacja Centralne twierdzenie graniczne (w wersji dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie) mówi w istocie, że
gdy Naturalnym jest pytanie o odległość tych dwóch funkcji w normie supremum i badanie jak maleje ona wraz z Całkiem satysfakcjonującą odpowiedź na nie daje nierówność Berry’ego-Esseena: jedynym dodatkowym wymaganiem jest skończoność trzeciego momentu modułu zmiennej.
Twierdzenie Niech będą takimi niezależnymi zmiennymi losowymi określonymi na wspólnej przestrzeni probabilistycznej, że
dla każdego
Wówczas istnieje taka stała że
Wniosek Jako wniosek można przedstawić nieco inne, niekiedy dogodniejsze, sformułowanie twierdzenia.
Niech będą jednakowymi niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, wariancji równej i dla których
Wówczas .
Dowód wniosku Niech przez co
Zmienne spełniają wtedy założenia twierdzenia i zastosowanie go daje tezę wniosku, gdyż