Elementarne wielomiany symetryczne i twierdzenie podstawowe Elementarnymi wielomianami symetrycznymi zmiennych nazywamy każdy z wielomianów symetrycznych postaci
gdzie
Elementarne wielomiany symetryczne nazywane są także wielomianami symetrycznymi podstawowymi.
Jeżeli jest dowolnym wielomianem symetrycznym, to istnieje dokładnie jeden wielomian taki, że
Nieformalnie, oznacza to, że za pomocą sumowania, mnożenia i mnożenia przez liczbę rzeczywistą wielomianów można zbudować każdy wielomian symetryczny. Natomiast pełne i formalne sformułowanie tego wyniku brzmi:
Twierdzenie. Przyporządkowanie (polegające na podstawieniu)
jest izomorfizmem algebry wielomianowej na algebrę wielomianów symetrycznych (gdzie oznacza ciało współczynników).
Uwaga. Po lewej stronie powyższego przyporządkowania jest traktowane jako zmienna symboliczna, a po prawej – jako wielomian od zmiennych
Przykłady:
Wielomiany symetryczne a wzory Viète’a Jeżeli wielomian (gdzie ) ma pierwiastków to zachodzą wzory Viète’a:
Uwaga. Każdy wielomian stopnia nad ciałem ma pierwiastków (niekoniecznie różnych) nad zamkniętym algebraicznie ciałem będącym rozszerzeniem ciała (ale na ogół wielomian ten nie ma pierwiastków nad samym ciałem ).
Ze wzorów Viète’a i podstawowego twierdzenia (patrz wyżej) natychmiast wynika niezwykle ważny wniosek: