Od 1918 r. był członkiem Polskiej Akademii Umiejętności, zaś w latach 1901–1950 (z przerwą w okresie II wojny światowej) – dyrektorem Muzeum Narodowego w Krakowie. Powiększył zbiory muzeum o kolekcję Emeryka Hutten-Czapskiego, dzieł sztuki japońskiej oraz obrazów z okresu Młodej Polski, stanowiących kolekcję Feliksa Jasieńskiego. W 1938 r. w Nowym Gmachu Muzeum Narodowego utworzył Galerię Sztuki Współczesnej im. Stanisława Wyspiańskiego. Z inicjatywy Kopery oraz Teodora Axentowicza, Feliksa Jasieńskiego i Leona Wyczółkowskiego powstało w 1903 r. Towarzystwo Przyjaciół Muzeum Narodowego w Krakowie.
Był przewodniczącym krakowskiego oddziału Związku Historyków Sztuki, członkiem honorowym Towarzystwa Miłośników Historii i Zabytków Krakowa. W latach 1930–1950 był przewodniczącym Związków Muzeów w Polsce. W okresie okupacji brał udział w ratowaniu zbiorów muzealnych, wielokrotnie przesłuchiwany przez gestapo nigdy nie zdradził miejsca ukrycia obrazu Hołd pruski Jana Matejki.
Był specjalistą w dziedzinie historii sztuki, zwłaszcza okresu renesansu, dziejów rzemiosła artystycznego, numizmatyki, badacz dziejów Krakowa.
Został pochowany na cmentarzu Rakowickim w Krakowie (kwatera CD-płn-6). mały|Grób prof.