Największa liczba pierwsza Mersenne’a Największą obecnie znaną liczbą pierwszą Mersenne’a jest Odkrył ją 12 października 2024 roku Luke Durant w ramach projektu GIMPS. Do jej zapisania w układzie dziesiętnym potrzeba cyfr. Współcześnie poszukiwaniem liczb pierwszych Mersenne’a i rozkładaniem liczb złożonych na czynniki pierwsze zajmują się projekty obliczeń rozproszonych. Czołowym z nich jest właśnie GIMPS, do którego należy odkrycie ostatnich największych znanych liczb pierwszych.

Liczby Mersenne’a a liczby doskonałe

Liczby Mersenne’a są związane z odnajdywaniem kolejnych liczb doskonałych, ponieważ występują we wzorze, który je generuje: gdzie wyrażenie to liczba pierwsza Mersenne’a .

Związek liczb złożonych Mersenne’a z liczbami pierwszymi Germain Twierdzenie: Liczba Mersenne’a jest złożona i podzielna przez dla dowolnej liczby pierwszej Germain

Dowód: Na mocy twierdzenia o wzajemności kwadratowej, kongruencja ma rozwiązanie dla liczby pierwszej nieparzystej wtedy i tylko wtedy, gdy

Niech będzie liczbą pierwszą Germain, czyli jest pierwsze, oraz jest liczbą pierwszą. Wtedy więc istnieje liczba całkowita taka, że Zatem na mocy Małego Twierdzenia Fermata:

Przykłady:

Przypisy

Linki zewnętrzne The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)

Mersenne number , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-12]. Liczby pierwsze Mersenne’a

M