Poza występami na olimpiadach Bednarski czternastokrotnie reprezentował kraj w meczach międzynarodowych oraz brał udział w ponad sześćdziesięciu turniejach międzynarodowych. W 1967 podzielił VII m. (wspólnie z Janem Donnerem) w bardzo silnie obsadzonym memoriale Capablanki w Hawanie, gdzie był bliski wypełnienia normy arcymistrzowskiej (zwyciężył Bent Larsen przed Markiem Tajmanowem, Wasilijem Smysłowem i Lwem Poługajewskim)Memoriał Capablanki, Hawana 1967. W 1972 Bednarski zajął I miejsca w dwóch turniejach międzynarodowych, w Lublinie i Hradcu Kralovem. Trzykrotnie dzielił II miejsca w turniejach Rilton Cup w Sztokholmie (w edycjach 1976/77, 1978/79 i 1979/80).
W młodości Bednarski reprezentował agresywny, kombinacyjny styl gry, który z czasem ewoluował w kierunku gry pozycyjnej z wieloma dojrzałymi i nowatorskimi koncepcjami. Był uważany za szachowego erudytę i znawcę teorii, któremu w odniesieniu jeszcze większych sukcesów w grze praktycznej przeszkadzały chroniczne niedoczasy. Niemniej, był jednym z nielicznych polskich szachistów, którzy potrafili nawiązać wyrównaną walkę z najsilniejszymi szachistami świata.