Algebra nad ciałem (algebra liniowa) – przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).
Definicja algebry Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Jeżeli dane jest działanie dwuargumentowe mnożenia wektorów, które dla dowolnych oraz spełnia warunki lewostronnej i prawostronnej rozdzielności względem dodawania wektorów,
zgodności z działaniem mnożenia przez skalary,
to z tak wprowadzoną strukturą nazywa się algebrą nad ciałem bądź -algebrą.
Baza i wymiar algebry. Podalgebra. Ideał Bazą algebry nazywa się bazę przestrzeni liniowej
Wymiarem algebry jest wymiar przestrzeni
Podalgebrą algebry nazywa się jej podprzestrzeń liniową która jest zarazem podpierścieniem pierścienia tzn.