Innymi słowy, w wybrany generator przypisuje
Orbity tego działania mogą mieć wielkość lub To pierwsze zachodzi wyłącznie dla ciągów gdzie Zliczając elementy poprzez orbity i redukując modulo p, widzimy, że liczba elementów spełniających jest podzielna przez Ale jest jednym z takich elementów, więc musi istnieć co najmniej innych rozwiązań dla i te rozwiązania są elementami rzędu To kończy dowód.
Zastosowania Natychmiastową konsekwencją twierdzenia Cauchy’ego jest charakteryzacja p-grup skończonych, gdzie jest liczbą pierwszą. W szczególności, skończona grupa jest p-grupą (czyli wszystkie jej elementy mają rząd dla dowolnej liczby naturalnej ) wtedy i tylko wtedy, gdy ma rząd dla dowolnej liczby naturalnej Możemy skorzystać z przypadku abelowego twierdzenia Cauchy’ego w dowodzie indukcyjnym pierwszego twierdzenia Sylowa podobnie jak w pierwszym dowodzie powyżej, chociaż istnieją dowody, w których unikamy sprawdzania osobno specjalnego przypadku.
Cauchy’ego (teoria grup) Kategoria:Podgrupy