Podgrupa normalna (niezmiennicza, dzielnik normalny) – dla danej grupy rodzaj podgrupy umożliwiający utworzenie grupy ilorazowej. W języku algebry ogólnej podgrupy normalne to kongruencje w grupach.
Definicje Podgrupę grupy nazywa się podgrupą normalną, jeśli wszystkie jej warstwy lewostronne są równe odpowiadającym im warstwom prawostronnym, tzn. gdy
dla wszystkich Fakt ten oznacza się symbolem
Warunki równoważne Niech będzie podgrupą grupy Wówczas następujące warunki są równoważne: (i) jest podgrupą normalną, (ii) zbiory warstw lewo- i prawostronnych w są równe, czyli (iii) relacja równoważności na zbiorze określona wzorem
jest zgodna z działaniem w grupie czyli dla wszystkich
(iii’) relacja równoważności na zbiorze określona wzorem
jest zgodna z działaniem w grupie czyli dla wszystkich
(iv) dla każdego zachodzi (iv’) dla każdego zachodzi (v) dla każdego zachodzi (v’) dla każdego zachodzi (vi-vi’) grupa jest niezmiennicza ze względu na sprzężenia, czyli dla dla dowolnego lub dla dla dowolnego (vii) jest sumą klas sprzężoności (viii) istnieje pewien homomorfizm określony na którego jądrem jest
Każdy z powyższych warunków może być przyjęty za definicję normalności podgrupy.