W artykule utrzymano współcześnie stosowaną konwencję.
Motywacja
Konstrukcja grupy ilorazowej ma na celu uogólnienie arytmetyki modularnej grupy addytywnej w której działania pochodzą z grupy addytywnej liczb całkowitych na dowolną grupę (zob. Przykłady). Dla danych grupy i jej dowolnej podgrupy należy więc wprowadzić takie działanie dwuargumentowe na zbiorze warstw grupy względem które byłoby odzwierciedleniem działania w grupie i uczyniłoby ze zbioru warstw grupę. Natychmiast pojawiają się dwa problemy: Po pierwsze istnieją zbiory warstw lewostronnych i prawostronnych grupy względem jeżeli jest przemienna, to zbiory te są równe, jednakże w ogólności mogą się one istotnie od siebie różnić (zob. przykład). W którym z nich wprowadzić strukturę grupy? Może oba te zbiory można przekształcić w grupy? Jeśli tak, to jaka zachodzi między nimi relacja? Jeśli nie, to dlaczego jest to niemożliwe? Druga kwestia dotyczy samego działania. Zasadniczym problemem wprowadzania działania na zbiorze jest to, czy dodawanie elementów tego zbioru jest dobrze określone;