W 1638 roku GalileuszGalileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638. zauważył, że liczby naturalne i kwadraty liczb naturalnych można powiązać przez wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość Ponieważ zbiór kwadratów liczb naturalnych jest właściwym podzbiorem zbioru liczb naturalnych (co więcej, o dopełnieniu nieskończonym), Galileusz uznał, że jest to paradoks wskazujący, iż pojęć typu większy/mniejszy nie można stosować w odniesieniu do zbiorów nieskończonych.

W pierwszej połowie XIX wieku Bernard Bolzano rozważał zbiory nieskończone, sugerując przez pewne przykłady, że zbiory nieskończone to takie, dla których istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy zbiorem a jego właściwym podzbiorem.

Praca Georga Cantora

W 1874 roku Georg Cantor opublikował pracę, która jest uznawana za narodziny współczesnej teorii mnogości. Idee te, pomimo dużej opozycji ze strony innych matematyków (np. Leopolda Kroneckera), zostały dalej rozwinięte w kolejnej pracy Cantora, z roku 1878. Podstawowe odkrycie Cantora dotyczyło pojęcia mocy (czyli „liczby elementów”) zbiorów nieskończonych. Przyjął on, że dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy A wszystkim elementom B w sposób wzajemnie jednoznaczny.