Urugwaj grał w grupie z Paragwajem i Ekwadorem, plasując się ostatecznie na drugim miejscu za Paragwajem (późniejszym trumfatorem).
Z reprezentacją Urugwaju Rodríguez wygrał w rozegrany na przełomie lat 1980 i 1981 prestiżowy turniej Mundialito zorganizowany w 50 rocznicę pierwszych mistrzostw świata.
W turnieju Copa América 1983 Urugwaj zdobył mistrzostwo Ameryki Południowej, a Rodríguez był podstawowym bramkarzem drużyny, broniąc jej bramki we wszystkich ośmiu meczach - z Chile i Wenezuelą w fazie grupowej, z Peru w półfinale oraz w dwóch finałowych spotkaniach z Brazylią.
Będąc piłkarzem brazylijskiego klubu Santos FC był w kadrze reprezentacji Urugwaju w finałach mistrzostw świata w 1986 roku, gdzie Urugwaj dotarł do 1/8 finału. Choć był podstawowym bramkarzem reprezentacji, z powodu kontuzji nie zagrał w żadnym meczu.