Leszek Sławiński, który opracował główne założenia pisma i stworzył zespół redakcyjny, zrezygnował z funkcji redaktora naczelnego po wydaniu czterech numerówDziękujemy... Kwadrat 1981 nr 4 s. 2. Pismo samofinansowało się. Czasopismo było drukowane w Szczecińskich Zakładach Graficznych. Redakcja mieściła się na terenie zakładów przy ul. Wojska Polskiego 128, a w lipcu 1981 przeniosła się do nowej siedziby przy ul. Małkowskiego 28.
Dwutygodnik społeczno-zawodowy – zgodnie z założeniami programowymi – podejmował nie tylko problemy środowiska poligrafów skupionych w NSZZ „Solidarność”, lecz także zagadnienia ogólnospołeczne, dotyczące codziennego życia mieszkańców miast i wsi w czasach PRL.
W okresie strajku czerwcowego 1981 roku, znanego jako „Dwa Dni Bez Prasy”, polegającego na odmowie składu, druku i kolportażu prasy komunistycznej, „Kwadrat” wyemitował jednodniówkę okolicznościową pod tytułem „Wesoły Strajkowicz”.
Z „Kwadratem” współpracowali stale lub okazjonalnie m.in.: Stefan Bratkowski, Teresa Remiszewska, Alicja Balińska, Robert Tomczak, Krzysztof Majewski, Zenon Henryk Dmochowski, Anna Przybyszowa, Bernard Bujnicki, Wojciech Chocianowicz, Helena Pilipiuk, Stefan Ancerewicz, Marzena Woźniak, Wanda Pudłowska-Gunia i wielu innych.