Zmarł w 1799 r.
W 1884 r. Oscar Browning opublikował jego Political Memoranda. British Museum jest w posiadaniu 8 tomów jego korespondencji.
Rodzina 29 listopada 1773 r. w Londynie poślubił Amelię Darcy, 12. baronową Darcy de Knayth (12 października 1754 – 27 stycznia 1784), córkę Roberta Darcy’ego, 4. hrabiego Holderness, i Mary Doublet, córki Francisa Doubleta. Małżeństwo to zakończyło się rozwodem w maju 1779 r. Francis i Amelia mieli razem dwóch synów i córkę: George William Fredrick Osborne (21 lipca 1775 – 10 lipca 1838), 6. książę Leeds Mary Henrietta Juliana Osborne (7 września 1776 – 21 października 1762), żona Thomasa Pelhama, 2. hrabiego Chichester, miała dzieci Francis Godolphin Osborne (18 października 1777 – 15 lutego 1850), 1. baron Godolphin
11 października 1788 r. poślubił Catherine Anguish (21 stycznia 1764 – 8 października 1837), córkę Thomasa Anguisha. Francis i Catherine mieli razem syna i córkę: Sidney Godolphin Osborne (16 grudnia 1789 – 15 kwietnia 1861) Catherine Anne Sarah Osborne (13 marca 1798 – 23