W przypadku pól kwantowych stan nazywa się stanem próżni. Operatory kreacji i anihilacji wykorzystuje się w przedstawieniu stanów pół kwantowych (patrz drugi rozdział).
Działanie operatorów na stany sprzężone
Reguły komutacji
gdzie: – komutator.
Reprezentacja macierzowa Stany są wzajemnie ortogonalne – można wybrać je na bazę przestrzeni Hilberta. Bazę tą nazywa się bazą liczby cząstek.
Operatory kreacji i anihilacji w tej bazie mają następujące reprezentacje:
oraz
Elementy macierzy operatora wyznacza się obliczając działania operatora na stany bazowe, tj.
i podobnie dla operatora
Dowód.
1) Dla operatora kreacji obliczamy:
Wyrazy niezerowe otrzymamy tylko gdy czyli niezerowe są wyrazy
Czyli różne od zera są wyrazy: cnd.
2) Analogicznie dowodzi się dla operatora anihilacji.