Dla n = 12, Dewdney podaje następującą dość dużą dolną granicę:

gdzie 4096 występuje 166-krotnie w tej piramidzie wykładniczej, a gdzie na szczycie jest 4.

Funkcja maksymalnych przesunięć Shen Lin wykazał, że Σ(3) = 6 w jego wspólnej z Radó publikacji z 1965 r. w Computer Studies of Turing Machine Problems.

W celu przeprowadzenia dowodu posłużył się on inną ekstremalną funkcją zatrzymujących się n-stanowych maszyn Turinga, czyli funkcją maksymalnych przesunięć.

Zdefiniujmy: s(M) = liczba przesunięć robionych przez M przed zatrzymaniem się dla każdego M z En (Największa liczba przesunięć wykonanych przez jakąkolwiek n-stanową 2-symbolową maszynę Turing)

Ponieważ te maszyny Turinga muszą wykonać przesunięcie w każdym przejściu, czy inaczej „kroku” (wraz z każdym przejściem do stanu Stop), funkcja maksymalnych przesunięć jest identyczna z funkcją maksymalnych kroków.

Jeśli teraz znamy S(n), to możemy wykonywać wszystkie n-stanowe maszyny Turinga dla S(n) kroków jedna po drugiej i zapamiętywać te które zatrzymały się z największą liczbą jedynek na taśmie.