Każda funkcja ciągła lipschitzowsko jest bezwzględnie ciągła. Jeżeli jest bezwzględnie ciągła, to ma ograniczone wahanie na Dla jej pochodna metryczna istnieje dla -prawie wszędzie w a pochodna metryczna jest najmniejszym takim, żeAmbrosio, Gigli i Savaré 2005, twierdzenie 1.1.2 na stronie 24.
Ciągłość bezwzględna miar
Definicja Miara określona na podzbiorach borelowskich prostej liczb rzeczywistych jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue’a (jest zmajoryzowana przez ), jeżeli dla każdego zbioru dla którego Własność tę zapisuje się symbolem
W większości zastosowań, jeżeli o mierze mówi się, że jest „bezwzględnie ciągła” (bez wskazywania miary względem której jest bezwzględnie ciągła), to ma się zwykle na myśli bezwzględną ciągłość względem miary Lebesgue’a. To samo tyczy się dla wszystkich
Równoważne definicje Następujące warunki nałożone na skończoną miarę określone na podzbiorach borelowskich prostej rzeczywistej są równoważneRównoważność między 1. a 2. jest przypadkiem szczególnym Nielsen 1997, stwierdzenie 15.5 na stronie 251;