Athreya i Lahiri 2006, punkt (ii) twierdzenia 4.1.1 na stronie 115. zapewnia, że jeżeli jest bezwzględnie ciągła względem i obie miary są σ-skończone, to ma gęstość, lub pochodną Radona-Nikodýma, względem co oznacza, że istnieje -mierzalna funkcja przyjmująca wartości w oznaczana taka, że dla każdego zbioru -mierzalnego zachodzi
Miary osobliwe
Zgodnie z twierdzeniem Lebesgue’a o rozkładzieRoyden 1988, stwierdzenie 11.24 na stronie 278; Nielsen 1997, twierdzenie 15.14 na stronie 262; Athreya i Lahiri 2006, punkt (i) twierdzenia 4.1.1 na stronie 115. każda miara może być rozłożona na sumę miar bezwzględnie ciągłych i osobliwych.
Związek między dwoma pojęciami ciągłości bezwzględnej Miara skończona określona na podzbiorach borelowskich prostej rzeczywistych jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue’a wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja
jest lokalnie rzeczywistą funkcją bezwzględnie ciągłą. Innymi słowy funkcja jest lokalnie bezwzględnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna dystrybucyjna jest miarą, która jest bezwzględnie ciągłą względem miary Lebesgue’a.