Mimo iż z topologią normy jest przestrzenią Banacha, to jednak poniższe twierdzenie dość dobrze ilustruje związek zupełności przestrzeni z topologią *-słabą jej przestrzeni sprzężonej: Jeśli jest przestrzenią Banacha, to topologie: *-słaba i ograniczona *-słaba pokrywają się, to znaczy
Prawdziwe, jest też twierdzenie odwrotne, które można sformułować nieco inaczej: Jeśli jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha, to
Twierdzenie Krejna-Szmuljana
Przy okazji omawiania (ograniczonej) *-słabej topologii w przestrzeni sprzężonej wartym odnotowania jest twierdzenie Krejna-Szmuljana (nazywane czasem twierdzeniem Banacha-Krejna-Szmuljana) udowodnione w 1940 przez Marka Krejna i Witolda Lwowicza Šmuliana.
Niech będzie przestrzenią Banacha oraz będzie kulą jednostkową w Jeśli jest wypukłym podzbiorem to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbiór
jest *-słabo domknięty.
Druga przestrzeń sprzeżona
Niech będzie przestrzenią unormowaną. Przestrzeń jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy jest przestrzenią zupełną czy nie (zob. twierdzenie Banacha-Steinhausa), więc jako taka ma swoją przestrzeń sprzeżoną (analogicznie definiuje się trzecią przestrzeń sprzężoną czy -tą ).