W 1986 wyjechał do Francji, gdzie dołączył do AS Saint-Étienne. Tam zagrał w 16 spotkaniach Ligue 1, po czym przeszedł do portugalskiego GD Chaves. Grał w nim przez pięć lat i w 89 spotkaniach na poziomie Primeira Liga strzelił 15 bramek. Karierę piłkarską zakończył w 1993 w Botewie.
Sezon Klub Kraj Rozgrywki Mecze Bramki 1976/77 Botew Płowdiw Pyrwa profesionałna futbołna liga 1977/78 1978/79 12 1979/80 1979/80 CSKA Sofia 9 5 1980/81 Botew Płowdiw 23 31 1981/82 1982/83 CSKA Sofia 26 7 1983/84 24 17 1984/85 21 8 1985/86 21 10 1986/87 AS Saint-Étienne Ligue 1 16 0 1987/88 GD Chaves Primeira Liga 15 2 1988/89 27 6 1989/90 22 2 1990/91 21 4 1991/92 4 1 1992/93 Botew Płowdiw Pyrwa profesionałna futbołna liga 5 0
Kariera reprezentacyjna Po raz pierwszy w reprezentacji Bułgarii Sławkow zagrał 22 lutego 1978. Przeciwnikiem była reprezentacja Szkocji, a mecz zakończył się porażką Bułgarów 1:2.
Uczestniczył wraz z kadrą w eliminacjach do Mistrzostw Świata 1982 (6 spotkań). Zagrał także łącznie w 5 spotkaniach eliminacyjnych do mistrzostw Europy 1980 i 1984. Po raz ostatni w drużynie narodowej wystąpił 7 września 1983 w meczu z Norwegią, wygranym 2:1.
Łącznie w latach 1979–1983 Sławkow zagrał dla Bułgarii w 37 spotkaniach, w których strzelił 11 bramek.